Blog do Prof Mauro Ricardo

sábado, 19 de setembro de 2015

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Alunos do 2º A e 2º C...segue o vídeo conforme combinado...

sábado, 20 de junho de 2015

sexta-feira, 19 de junho de 2015

REGRA DE CRAMER

REGRA DE CRAMER

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz:

Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:

x₁ = D1
         D

x₂ = D2
         D

x₃ = D3 ...   x_n = Dn
         D                    D

Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:

Dado o sistema linear

, para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.

Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.

D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.

Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.

Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15

Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.

Agora calcularmos o seu determinante Dy.

Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.

Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.

Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8
Dz = 45

Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.

A incógnita x = Dx = 15 = 1
                        D      15

A incógnita y = Dy = 30 = 2
                        D      15

A incógnita z = Dz = 45 = 3
                     D      15

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.

Bom final de semana...

Prof Mauro Ricardo

quinta-feira, 18 de junho de 2015

Determinantes

Determinantes

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁:

det M =Ia₁₁I = a₁₁

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz

, de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a_ijde uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MC_ij, de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a_ij .

Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz

, de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a₁₁(MC₁₁), retiramos a linha 1 e a coluna 1: