RELAÇÃO DE EULER

A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de determinarmos o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte: 

V – A + F = 2, onde V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces. 


Exemplo 1 

Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices. 
Resolução: 
V – A + F = 2 
6 – 10 + F = 2 
–4 + F = 2 
F = 4 + 2 
F = 6 
Portanto, o sólido possui 6 faces. 

Exemplo 2 

Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:

Visivelmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos agora demonstrar que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da pirâmide de base quadrangular. 
Resolução: 
Vértices 
V – A + F = 2 
V – 8 + 5 = 2 
V = 2 + 3 
V = 5 

Arestas 
V – A + F = 2 
5 – A + 5 = 2 
–A = 2 – 10 
–A = –8 x(–1) 
A = 8 

Faces 
V – A + F = 2 
5 – 8 + F = 2 
–3 + F = 2 
F = 2 + 3 
F = 5 

Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo. 

Exemplo 3 

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro. 
Resolução: 
Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x. 

Aplicando a relação de Euler: 
V – A + F = 2 
x – 22 + x = 2 
2x = 2 + 22 
2x = 24 
x = 12 

Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é igual a12.